1계 미분방정식

- 미분방정식 : 한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 또는 그 이상의 독립변수에 대해 미분한 도함수들을 포함하는 방정식

(1) 유형에 따라 상미분방정식(독립변수가 1개)/편미분방정식(독립변수가 2개 이상) - 독립변수 개수

(2) 계수에 따라 1계, 2계, ... , n계 - 미분한 횟수

(3) 선형성에 따라 선형미분방정식/비선형미분방정식 - 계수에 독립변수가 연관된 항의 유무

example) 선형미방 : y''-3y'+y=0, y'+4xy=x / 비선형미방 : (1-y)y'+2y'=0

*: 2계 1차 , : 1계 2차

- 미분방정식의 해 : 준 미분방정식을 만족시키는 독립변수와 종속변수 사이의 관계

- 변수분리형 미분방정식 : 1계 미분방정식의 형태가 인 미분방정식

- 동차함수(homogeneous function) : 

f(x, y)가 n차 동차함수이면 

- 동차미분방정식 : 에서 과 이 같은 차수의 동차함수인 미분방정식

즉, 동차미분방정식은 치환을 통해 변수분리형 미분방정식으로 바꾸어 푼다.

치환을 할 때에 dy쪽이 간단하면 y=ux, dx쪽이 간단하면 x=vy로 치환하는 것이 좋다.

- 완전미분방정식(exact differential equation)

가 어떤 함수 의 전미분과 같을 때인

이면 을 완전미분방정식이라 하고 해는 가 된다.

Theorem : 이 완전미분방정식인 것과 는 동치이다.

example) 

- 적분인자

이 완전미분방정식은 아니지만, 양변에 를 곱해서 완전미분방정식이 될 때, 함수 를 적분인자라 한다. 를 풀면 된다.

N과 M 중 간단한 걸 택해서 분모로 보냄.

- 선형미분방정식

- 1계 선형미분방정식

example) 

- 베르누이 미분방정식

Theorem :  형태인 미분방정식은  로 치환하면 선형미분방정식이 된다. 즉, 로 변형된다.